三平方の定理を使わず面積を求める、が小学生向けの問題だったとはね

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初等幾何学におけるピザの定理(ピザのていり、pizza theorem)は、円板をある方法で切り分けると、2つの部分の面積を等しくすることができるという定理である。

ピザの定理 - Wikipedia

⇧ ピザって気軽に食べるもんだったよね?

ピザのスライスに関係のある他の数学的結果に、怠け者の仕出し屋の数列英語版(lazy caterer's sequence)と呼ばれる整数列がある。これは、与えられた整数回数の直線による切り分けで、1枚のピザを最大でいくつの部分に分割できるかを表す数列である。この他ハムサンドイッチの定理は3次元の物体の切り分けに関する定理だが、これの2次元版を考えると、どんなに歪んだピザであったとしても、切り方を注意深く選べば、生地全体と耳の部分を同時に等分するよう直線で二分割できる。また同定理の3次元版によれば、生地・トマト・チーズを全て同体積に二分割するような平面による切断が存在することがわかる。

ピザの定理 - Wikipedia

⇧ Oh, my gosh...

そんなわけで、スマホで「Smart News」ってアプリ内の記事を見てたら、 

nlab.itmedia.co.jp

 十字型の図形の面積を問う小学生向けの問題が、「これは良問」と好評です。「算数」の知識だけで解けるかな?

この図形の面積、三平方の定理を使わずに出せる? ヒラメキで解く“算数”がちょっと手ごわい - ねとらぼ

⇧ って問題があったんで、取り組んでみたら、解決に1時間ぐらいかかってしまった...

これが小学生向けの問題とは、恐れ入る。

というわけで、レッツトライ~。 

 

図で考えるのが吉

問題にあるように、十字架のすべての辺の長さは同じ長さです。長さが与えられているのは、ピンク色で引かれた線のみで、10cm。

でルールは、三平方の定理を使っては駄目ってもの。

三平方の定理ってのは、

初等幾何学におけるピタゴラスの定理ピタゴラスのていり、Pythagorean theorem)は、直角三角形の3の長さの関係を表す。斜辺の長さを c, 他の2辺の長さを ab とすると、定理は

が成り立つという等式の形で述べられる三平方の定理(さんへいほうのていり)、勾股弦の定理(こうこげんのていり)とも呼ばれる。

ピタゴラスの定理 - Wikipedia

⇧ 直角三角形の長さを算出できるやつですね。

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で、要するに、情報は「10cm」しか与えられていないわけなんで、何とか「10cm」ってのを利用するしかないですと。

となると、図形を何とか変形できないか?って流れになるわけですな。

まぁ、そのためには、補助線を引いてみるのが手っ取り早いですと。

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で引いてみて、更に、2本引いてみると、ピンクで囲まれた範囲ができるんだけど、

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これが、何と、十字架の半分と同じ面積になるんですな。

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で、しかも、ピンク色で囲まれた部分は、底辺が10cm の直角二等辺三角形になりますと。

つまり、

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ってな具合に正方形を組み立てることができるんですな。

というわけで、ピンク色の直角二等辺三角形は、1つが十字架の半分の面積に等しいので、ピンク色の直角二等辺三角形4つは、十字架2つ分の面積と等しいので、

 10 \times 10 \div 2 = 50

となりますと。 

もう一つの回答は思いつかんかった...

 

ふと、思ったのだけど、AIとかってこういう補助線を引いたりするような図形問題なんかを解くアルゴリズムって可能なんかな?

ネットには、AIがそういうことできるって情報がヒットしないんよね。

意外に、AIの導入が難しい分野なんすかね?

モヤモヤが半端ない...

 

www.st.keio.ac.jp

「数学の問題を解くときに問題を絵に描いたり、提示された図形に補助線を加えたりすることで直感が働き、問題が簡単に解けた、という経験があったりするかと思います。この図形に代表される幾何学の概念を使い、整数論の課題に取り組むのが数論幾何です」と、坂内さんは自らの研究分野について話す。

慶應理工の数論幾何 | 慶應義塾大学理工学部

⇧ 結構、高度なことなのかもね。

 

今回はこのへんで。